Что такое сигнум

Определение

SGN⁡(Икс)знак равно{-1если Икс<0,0если Иксзнак равно0,1если Икс>0.{ Displaystyle OperatorName {SGN} (х): = { начинаются {случаи} -1 & { текст {если}} х <0, \ 0 & { текст {если}} х = 0, \ 1 & { текст {если}} х> 0 конец {случаи}}}
SGN⁡(Икс)знак равноddИкс|Икс|,Икс≠0{ Displaystyle OperatorName {SGN} (х) = { гидроразрыва { mathrm {d}} { mathrm {d} х}} слева | х право |, четырехъядерных х NEQ 0}

свойства

Что такое сигнум

Знаковая функция не является непрерывной при

х = 0

.

Иксзнак равноSGN⁡(Икс)⋅|Икс|,{ Displaystyle х = OperatorName {SGN} (х) CDOT | х | ,.}
SGN⁡(ИксN)знак равноSGN⁡(Икс)N{ Displaystyle OperatorName {SGN} (х ^ {п}) = OperatorName {SGN} (х) ^ {п}}

Отсюда следует , что всякий раз , когда й не равен 0 , мы имеем

SGN⁡(Икс)знак равноИкс|Икс|знак равно|Икс|Икс{ Displaystyle OperatorName {SGN} (х) = {х над | х |} = {| х | Над й}}

Аналогично, для любого вещественного числа х ,

|Икс|знак равноSGN⁡(Икс)⋅Икс{ Displaystyle | х | = OperatorName {SGN} (х) CDOT х}

Знаковая функция является производной функции абсолютного значения, вплоть до неопределенности в нуле. Более формально, в теории интегрирования это слабая производная , и в выпуклой теории функций Субдифференциал абсолютного значения на 0 интервал , «заполнение» знаковой функции (субдифференциале абсолютного значения не однозначна в 0 ).

d|Икс|dИксзнак равноSGN⁡(Икс) за Икс≠0{ displaystyle {г | х | Над дх} = OperatorName {SGN} (х) { Mbox {для}} х NEQ 0} ,

Знаковая функция дифференцируема производная 0 всюду , кроме 0. Это не дифференцируема в точке 0 в обычном смысле, но под обобщенным понятием дифференциации в теории распределения , производная функции сигнумов в два раза дельта – функция Дирака , которая может быть продемонстрирована с помощью тождества

SGN⁡(Икс)знак равно2ЧАС(Икс)-1{ Displaystyle OperatorName {SGN} (х) = 2H (х) -1 ,}
dSGN⁡(Икс)dИксзнак равно2dЧАС(Икс)dИксзнак равно2δ(Икс),{ Displaystyle { гидроразрыва {d OperatorName {SGN} (х)} {дх}} = 2 { гидроразрыва {дН (х)} {дх}} = 2 дельта (х) ,.}

Преобразование Фурье от сигнатурной функции

∫-∞∞SGN⁡(Икс)еяКИксdИксзнак равноп,v,2яК{ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} OperatorName {SGN} (х) е ^ {IKX} йх = mathrm {ри} { гидроразрыва {2} {ик}}},

где PV означает Коши главное значение .

 SGN⁡(Икс)знак равно-[Икс<0] [Икс>0],{ Displaystyle OperatorName {SGn} (х) = – [х <0] [х> 0] ,.}
 SGN⁡(Икс)знак равно⌊Икс|Икс| 1⌋-⌊-Икс|-Икс| 1⌋,{ Displaystyle OperatorName {SGn} (х) = { Бигг lfloor} { гидроразрыва {х} {| х | 1}} { Бигг rfloor} – { Бигг lfloor} { гидроразрыва { -x} {| -x | 1}} { Bigg rfloor} ,.}

Для к > 1 , гладкое приближение функции знака

Предлагаем ознакомиться  Что такое галловый клещ и меры борьбы с ним на груше

 SGN⁡(Икс)≈TANH⁡(КИкс),{ Displaystyle OperatorName {SGn} (х) ок TANH (кх) ,.}

Другое приближение

 SGN⁡(Икс)≈ИксИкс2 ε2,{ Displaystyle OperatorName {SGn} (х) ок { гидроразрыва {х} { SQRT {х ^ {2} varepsilon ^ {2}}}} ,.}

который получает более резким , как е → 0 ; отметить , что это производная от √ х 2 ε 2 . Это вдохновило из того факта , что выше в точности равен для всех ненулевых х , если е = 0 , и имеет то преимущество , что простое обобщение для многомерных аналогов функции знака (например, частные производные √ х 2 у 2 ).

См Хевисайда функцию – Аналитические приближения .

комплекс сигнум

SGN⁡(Z)знак равноZ|Z|{ Displaystyle OperatorName {SGN} (г) = { гидроразрыва {г} {| г |}}}

для любого комплексного числа г , за исключением г = 0 . Сигнум данного комплексного числа г является точкой на единичной окружности в комплексной плоскости , которая является ближайшей к г . Тогда для г ≠ 0 ,

SGN⁡(Z)знак равноеяArg⁡Z,{ Displaystyle OperatorName {SGN} (г) = е ^ {я агдг} ,,}

https://www.youtube.com/watch?v=ytadvertiseru

где аргумент является сложной функцией аргумента .

SGN⁡(0 0я)знак равно0{ Displaystyle OperatorName {SGN} (0 0i) = 0}
КРУН⁡(Z)знак равно{1если ре(Z)>0,-1если ре(Z)<0,SGN⁡(ям(Z))если ре(Z)знак равно0{ Displaystyle OperatorName {КРУН} (г) = { BEGIN {случаи} 1 & { текст {если}} mathrm {Re} (г)> 0, \ – 1 & { текст {если}} mathrm {Re} (г) <0, \ OperatorName {SGN} ( mathrm {Im} (г)) и { текст {если}} mathrm {Re} (г) = 0 {конец}} случаи }

где Re ( г ) является действительной частью г и Im ( г ) является мнимой частью г .

КРУН⁡(Z)знак равноZZ2знак равноZ2Z,{ Displaystyle OperatorName {КРУН} (г) = { гидроразрыва {г} { SQRT {г ^ {2}}}} = { гидроразрыва { SQRT {г ^ {2}}} {г}}. }

Обобщенная знаковая функция

При реальных значениях х , то можно определить обобщенную функцию -version функции сигнумов, ε ( х ) таким образом, что ε ( х ) 2 = 1 во всем мире, в том числе и в точке х = 0 ( в отличие от SGn , для которых SGN (0) 2 = 0 ). Эта обобщенная знаковая позволяет построение алгебры обобщенных функций , но цена такого обобщения является потеря коммутативности . В частности, обобщенная сигнум антикоммутирует с дельта – функции Дирака

ε(Икс)δ(Икс) δ(Икс)ε(Икс)знак равно0 ;{ Displaystyle varepsilon (х) дельта (х) дельта (х) varepsilon (х) = 0 ~;}

https://www.youtube.com/watch?v=https:accounts.google.comServiceLogin

Предлагаем ознакомиться  Варенье из фейхоа на зиму: рецепты с фото

кроме того, ε ( х ) не может быть оценена при х = 0 ; и специальное название, ε необходимо , чтобы отличить его от функции SGn . ( Ε (0) не определен, но SGN (0) = 0 .)

Check Also

Стейки из индейки с косточкой в духовке рецепт с фото пошагово

Содержание1 Нежный стейк индейки в соусе из французской горчицы2 Стейк из индейки на сковороде гриль3 …

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector